Asymptotic expansion for the solution of a penalized control constrained semilinear elliptic problems

In this work we consider the optimal control problem of a semilinear elliptic PDE with a Dirichlet boundary condition, where the control variable is distributed over the domain and is constrained to be nonnegative. The approach is to consider an associated family of penalized problems, parametrized by ε > 0, whose solutions define a central path converging to the solution of the original problem. Our aim is to obtain an asymptotic expansion for the solutions of the penalized problems around the solution of the original problem. This approach allows us to obtain some specific error bounds in various norms and for a general class of barrier functions. In this manner, we generalize the results of [2] which were obtained in the ODE framework. Key-words: Optimal control of PDE, interior-point algorithms, control constraints, expansion of solutions. ∗ INRIA-Saclay and CMAP, École Polytechnique, 91128 Palaiseau, France ([email protected]) † INRIA-Saclay and CMAP, École Polytechnique, 91128 Palaiseau, France ([email protected]) Développement asymptotique de la solution d’un problème de commande optimale semi linéaire elliptique pénalisé Résumé : Dans ce travail nous considérons le problème de commande optimale d’une équation semi linéaire elliptique avec conditions de Dirichlet homogène au bord, la commande étant distribuée sur le domaine et positive. L’approche est de considérer une famille de problèmes pénalisés par ε > 0, dont la solution définit une trajectoire centrale qui converge vers la solution du problème original. Notre but est d’obtenir un développement asymptotique de la solution du problème pénalisé au voisinege de la solution du problème original. Notre approche nous permet d’obtenir des estimations d’erreur dans différentes normes et pour une classe générale de fonctions barrière. Ceci étend les résultats de [2], obtenus dans un cadre de commande optimale d’équations différentielles. Mots-clés : Commande optimale des EDP, algorithmes de points intérieurs, contraintes sur la commande, d’eveloppement des solutions. Asymptotic expansions for interior solutions of semilinear elliptic problems 3